已知圆锥的表面积为 a m²，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径。
右图是一种机器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）形，上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm）形，电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌 0.11 kg，问电镀 10 000 个零件需锌多少千克（结果精确到 0.01 kg）？第2题
棱台的两个底面面积分别是 245 cm² 和 80 cm²，截得这个棱台的棱锥的高为 35 cm，求这个棱台的体积。

1.3.2 球的体积和表面积

球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展成平面图形，怎样求球的表面积与体积呢？

25

39

CHAPTER 1. 球的体积

设球的半径为 R，它的体积只与半径 R 有关，是以 R 为自变量的函数。

如图 1.3-8，将半径 OA n 等分，过这些等分点作平面，把半球切割成 n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。

图

由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积，它的高就是“小圆片”的厚度 $\frac{R}{n}$ ，底面就是“小圆片”的下底面。

由勾股定理可得第 i 层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径

$r_i = \sqrt{R^2 - [R\frac{(i-1)}{n}]^2}$ , (i = 1, 2, ..., n)

于是，第 i 层“小圆片”的体积

$V_i \approx \pi r_i^2 \cdot \frac{R}{n} = \pi R^2 [1 - (\frac{i-1}{n})^2] \frac{R}{n}$ , (i = 1, 2, ..., n)

半球的体积

$V_{半球} = V_1 + V_2 + ... + V_n$

$\approx \frac{\pi R^3}{n} \{1 + [1 - (\frac{1}{n})^2] + [1 - (\frac{2}{n})^2] + ... + [1 - (\frac{n-1}{n})^2]\}$

$= \frac{\pi R^3}{n} [n - \frac{1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2}{n^2}]$

$= \frac{\pi R^3}{n} [n - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^2}]$

$= \frac{\pi R^3}{n} [1 - \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}]$

第一章空间几何体

第一章

所以 $V_{半球} \approx \pi R^2 \left[1 - \frac{1}{n} - \frac{(2 - \frac{1}{n})}{6}\right]$ ①

容易看出，当所分层数不断增加，也就是说，当 $n$ 不断变大时，①式越来越接近半球的体积，如果 $n$ 无限变大，就能由①式推出 $V_{半球}$ 的值。

事实上，随着 $n$ 增大， $\frac{1}{n}$ 越来越小，如 $n=1000$ 时， $\frac{1}{n}=\frac{1}{1000}$ ； $n=10000$ 时， $\frac{1}{n}=\frac{1}{10000}$ ；……当 $n$ 无限变大时， $\frac{1}{n}$ 趋向于 0。这时，由①式推出

$V_{半球} = \frac{2}{3}\pi R^3$

所以半径为 R 的球的体积

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

在球的体积公式的推导过程中，我们使用了“分割、求近似值、再由近似值转化为球的体积”的方法：即先将半径 $n$ 等分；再求出每一部分体积的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；当 $n$ 无限变大时，就可得到半球的体积。这种重要的数学方法，后面推导球的表面积时，我们还会运用它。

例 4

某街心花园有许多钢球（钢的密度是 7.9 g/cm³），每个钢球重 145 kg，并且外径等于 50 cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的，如果是空心的，请你计算出它的内径（取 π≈3.14，结果精确到 1 cm）。

解：由于外径为 50 cm 的钢球的质量为

$7.9 \times \frac{4}{3} \times \pi \times (\frac{50}{2})^3 \approx 517 \ 054$ (g),

街心花园中钢球的质量为 145 000 g，而 145 000 < 517 054，所以钢球是空心的。

设球的内径是 2x cm，那么球的质量为

$7.9 \times \frac{4}{3} \pi (\frac{50}{2})^3 - 7.9 \times \frac{4}{3} \pi (\frac{x}{2})^3 = 145 \ 000$

解得

$x^3 \approx 11 \ 239.42$

$x \approx 22.4$
27

41

CHAPTER

普通高中课程标准实验教科书数学 2

2r ≈ 45 (cm)

答：钢球是空心的，其内径约为45 cm。

2. 球的表面积

设球的半径为 R，则它的表面积由半径 R 唯一确定，即它的表面积 S 也是以 R 为自变量的函数。

我们运用类似推导球体积公式的方法，推导球的表面积公式。

(1) 分割。如图 1.3-9，把球的表面分成 n 个“小球面片”，设它们的表面积分别是 S₁, S₂, …, S_n。那么，球的表面积

S = S₁ + S₂ + … + S_n

image

把球心 O 和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体就被分割成 n 个以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第 i 个“小球面片”顶点相连后，就得到一个以 O 为顶点，以第 i 个“小球面片”为底面的“小锥体”（图 1.3-9）。这样的“小锥体”的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么“小锥体”的底面几乎是“平”的，这时，每一个“小锥体”就近似于棱锥，它们的高近似于球半径 R。

(2) 求近似和。设这 n 个“小锥体”的体积分别为 V₁, V₂, …, V_n。那么，球的体积

V = V₁ + V₂ + … + V_n

由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的近似值。第 i 个“小锥体”对应的棱锥以 O 为顶点，以 O 与第 i 个“小球面片”顶点的连线为棱。设它的高为 h，底面面积为 S'。于是，它的体积