如图 2.2-12，由直线与平面平行的定义，如果一条直线 a 与平面 α 平行，那么 a 与 α 无公共点，即 a 上的点都不在 α 内，α 内的任何直线与 a 都无公共点。这样，平面 α 内的直线与平面 α 外的直线 a 只能是异面直线或者平行直线。那么，在什么条件下，平面 α 内的直线与直线 a 平行呢？

由于 a 与平面 α 内的任何直线无公共点，所以，过直线 a 的某一平面，若与平面 α 相交，则直线 a 就平行于这条交线。

下面，我们来证明这一结论。

如图 2.2-13，a // α，α∩β，α∩β = b，
求证：a // b。

证明：因为 α∩β = b，所以 b⊂α。
又因为 a // α，所以 a 与 b 无公共点。
又因为 a⊂β，b⊂β，
所以 a // b。

这样，我们得到直线与平面平行的性质定理。

定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，通过直线与平面平行可得到直线

第二章点、直线、平面之间的位置关系

第二章

与直线平行，这给出了一种作平行线的重要方法，对于本节开始提出的问题，我们只需由灯管两端向地面引两条平行线，过两条平行线与地面的交点的连线就是与灯管平行的直线。

例 3

如图 2.2-14 所示的一块木料中，棱 BC 平行于面 A'C'。

(1) 要经过面 A'C' 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开，应怎样画线？

(2) 所画的线和平面 AC 是什么位置关系？

**分析：**经过木料表面 A'C' 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开，实际上是经过 BC 及 BC 外一点 P 作截面，也就是找出平面与平面的交线，我们可以由直线与平面平行的性质定理和公理 4、公理 2 作出。

解： (1) 如图 2.2-15 ，在平面 A'C' 内，过点 P 作直线 EF，使 EF//B'C'，并分别交棱 A'B'，C'D' 于点 E，F。连接 BE，CF。则 EF，BE，CF 就是应画的线。

(2) 因为棱 BC 平行于平面 A'C'，平面 BC' 与平面 A'C' 交于 B'C'，所以，BC//B'C'。由 (1) 知，EF//B'C'，所以 EF//BC。因此

EF//BC
EF⊂ 平面 AC ⇒ EF//平面 AC.
BC⊂ 平面 AC

BE，CF 显然都与平面 AC 相交。

例 4

已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。

如图 2.2-16 ，已知直线 a，b，平面 α，且 a//b，a//α，a，b 都在平面 α 外，

求证：b//α。

**证明：**过 α 作平面 β，使它与平面 α 相交，交线为 c。

因为 a//α，α⊂β，α∩β=c，
所以 a//c。

因为 a//b，
所以 b//c。

CHAPTER 2

2.2.4 平面与平面平行的性质

思考

如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？

如图 2.2-17，借助长方体模型，我们可以看到，B’D’所在的平面 A’C’ 与平面 AC 平行，所以 B’D’ 与平面 AC 没有公共点，也就是说，B’D’ 与平面 AC 内的所有直线没有公共点，因此，直线 B’D’ 与平面 AC 内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线。

平面 AC 内哪些直线与 B’D’ 平行呢？如何找到它们呢？

实际上，平面 AC 内的直线只要与直线 B’D’ 共面就可以了。

如图 2.2-18，已知平面 α，β，γ 满足 α//β，α∩γ = a，β∩γ = b，求证 a//b。

证明：

因为 α∩γ = a，β∩γ = b，

所以 a⊂α，b⊂β。

又因为 α//β，

所以 a，b 没有公共点。

又因为 a，b 同在平面 γ 内，

所以，a//b。

我们将这个结论作为两个平面平行的性质定理。

定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

上述定理告诉我们，可以由平面与平面平行得出直线与

图 2.2-17
图 2.2-18

第二章点、直线、平面之间的位置关系

直线平行

例 5 如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交。

图 2.2-19

如图 2.2-19(1)，已知 α//β，l∩α=A，求证 l 与 β 相交。

**证明：**如图 2.2-19(2)，在 β 上取一点 B，过 l 和 B 作平面 γ。

由于 γ 与 α 有公共点 A，γ 与 β 有公共点 B。

所以，γ 与 α，β 都相交。

设 γ∩α=a，γ∩β=b。

因为 α//β。

所以 a//b。

又因为 l，a，b 都在平面 γ 内，且 l 与 a 相交于点 A。

所以 l 与 b 相交。

所以 l 与 β 相交。

从前面的讨论我们可以看到，通过直线与平面平行可以判定平面与平面平行；而由平面与平面平行的定义及性质定理可以得出直线与平面平行、直线与直线平行，这进一步揭示出直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系可以相互转化。

练习

判断下列命题是否正确，正确的在括号内划“√”号，错误的划“×”号。

(1) 如果 a，b 是两条直线，且 a//b，那么 a 平行于经过 b 的任何平面。( )

(2) 如果直线 a 和平面 α 满足 a//α，那么 a 与 α 内的任何直线平行。( )

(3) 如果直线 a，b 和平面 α 满足 a//α，b//α，那么 a//b。( )

(4) 如果直线 a，b 和平面 α 满足 a//b，a//α，b⊂α，那么 b//α。( )

CHAPTER 2

习题 2.2

A 组

选择题.

(1) 下列命题中，错误的是( )
(A) 平行于同一条直线的两个平面平行
(B) 平行于同一个平面的两个平面平行
(C) 一个平面与两个平行平面相交，交线平行
(D) 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交

(2) 若直线 a 不平行于平面 α，则下列结论成立的是( )
(A) α 内的所有直线都与直线 a 异面
(B) α 内不存在与 a 平行的直线
(C) α 内的直线都与 a 相交
(D) 直线 a 与平面 α 有公共点

(3) 已知直线 a // 平面 α，P∈a，那么过点 P 且平行于 α 的直线( )
(A) 只有一条，不在平面 α 内
(B) 有无数条，不一定在 α 内
(C) 只有一条，且在平面 α 内
(D) 有无数条，一定在 α 内

填空题.

(1) 已知平面 α，β 和直线 a, b, c, 且 a // b // c, a⊂α, b⊂β, c⊂β, 则 α 与 β 的关系是 __.

(2) 平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是 __.

如图，空间四边形 ABCD 中，E，F，G 分别是 AB，BC，CD 的中点，求证：(1) BD // 平面 EFG；(2) AC // 平面 EFG.

image3
image4

如图，a, b 是异面直线，画出平面 α，使 a⊂α，且 b // α，并说明理由.

第二章点、直线、平面之间的位置关系

5. 如图，AB//a，AC//BD，CE∈a，D∈a，求证 AC=BD。

(第 5 题) 图 5 (第 6 题) 图 6

6. 如图，α∩γ=CD，α∩γ=EF，β∩γ=AB，AB//α，求证 CD//EF。

7. 如图，A、B、C 为不在同一条直线上的三点，AA'//BB'//CC'，且 AA'=BB'=CC'，求证：平面 ABC//平面 A'B'C'。

(第 7 题) 图 7 (第 8 题) 图 8

8. 如图，直线 AA'，BB'，CC'相交于点 O，AO=A'O，BO=B'O，CO=C'O，求证：平面 ABC//平面 A'B'C'。

B 组

1. 一木块如图所示，点 P 在平面 VAC 内，过点 P 将木块锯开，使截面平行于直线 VB 和 AC，应该怎样画截面线？

(第 1 题) 图 9 (第 2 题) 图 10

2. 如图，a，b 是异面直线，a⊂α，a//β，b⊂β，b//α，求证 a//b。

CHAPTER

普通高中课程标准实验教科书数学 2

如图， $a \parallel \beta \parallel \gamma$ ，直线 $a$ 与 $\beta$ 分别交 $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ 于点 A，B，C 和点 D，E，F，求证 $\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$

(第 3 题)
(第 4 题)

如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：

(1) 有水的部分始终呈棱柱形；
(2) 没有水的部分始终呈棱柱形；
(3) 水面 EFGH 所在四边形的面积为定值；
(4) 棱 AD 始终与水面所在平面平行；
(5) 当容器倾斜如图 (3) 所示时，BE、EF 是定值。

其中所有正确命题的序号是**__**，为什么？