复习参考题

Tong LiJanuary 23, 2025About 6 min

复习参考题

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复习参考题

A组

判断下列命题是否正确:
(1) AB + BA = 0;
(2) AB + BC = AC;
(3) AB − AC = BC;
(4) 0 ⋅ AB = 0.
选择题:

(1) 如果 a, b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 ( ).
(A) a = b
(B) a ⋅ b = 1
(C) |a|² + |b|²
(D) |a| = |b|²

(2) 对于任意向量 a, b，下列命题中正确的是 ( ).
(A) 若 a, b 满足 |a| < |b|，且 a 与 b 同向，则 a > b
(B) |a + b| ≤ |a| + |b|
(C) |a ⋅ b| ≤ |a| |b|
(D) |a − b| ≥ ||a| − |b||

(3) 在四边形 ABCD 中，若 AC = AB + AD，则 ( ).
(A) ABCD 是矩形
(B) ABCD 是菱形
(C) ABCD 是正方形
(D) ABCD 是平行四边形

(4) 设 a 是非零向量，λ 是非零实数，下列结论中正确的是 ( ).
(A) a 与 −λa 的方向相反
(B) |−λa| ≥ |a|
(C) a 与 λa 的方向相同
(D) |−λa| = |λ| ⋅ |a|

(5) 设 M 是 ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则 OA + OB + OC + OD 等于 ( ).
(A) OM
(B) 2OM
(C) 3OM
(D) 4OM

(6) 下列各组向量中，可以作为基底的是 ( ).
(A) e₁ = (0, 0), e₂ = (1, −2)
(B) e₁ = (−1, 2), e₂ = (5, 7)
(C) e₁ = (3, 5), e₂ = (6, 10)
(D) e₁ = (2, −3), e₂ = ( $\frac{1}{2}$ , $-\frac{3}{4}$ )

已知 AB + AD = AC，且 AC = a，BD = b，分别用 a, b 表示 AB，AD.
已知六边形 ABCDEF 为正六边形，且 AC = a，BD = b，分别用 a, b 表示 DE，AD，BC，EF，FA，CD，AC，CE.

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已知平面直角坐标系中，点O为原点，A(-3,-4)，B(5,-12)

(1) 求 $\vec{AB}$ 的坐标及 $|AB|$ ；

(2) 若 $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$ ， $\vec{OD} = \vec{OA} - \vec{OB}$ ，求 $\vec{OC}$ 及 $\vec{OD}$ 的坐标；

(3) 求 $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ 。

已知点A(0,1)，B(1,0)，C(1,2)，D(2,1)，试判断向量 $\vec{AB}$ 和 $\vec{CD}$ 的位置关系，并给出证明。

已知点A(1,1)，B(-1,0)，C(0,1)，求点D(x,y)，使 $\vec{AB} = \vec{CD}$ 。

λ为何值时，向量 $\vec{a} = (n, 1)$ 与 $\vec{b} = (4, n)$ 共线且方向相同？

已知 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{c} = (-1, 0)$ ，求λ和μ，使 $\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}$ 。

已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(4,1)，C(1,5)，求cosA，cosB，cosC的值。

已知单位向量 $\vec{m}$ 和 $\vec{n}$ 的夹角为60°，求证：(2 $\vec{n}$ - $\vec{m}$ )⊥ $\vec{m}$ ，并解释其几何意义。

已知 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，λ为何值时， $\vec{a} + \lambda\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直？

已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为30°，求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ， $|\vec{a} - \vec{b}|$ 。

如图所示，支座A受 $F_1$ 、 $F_2$ 两个力的作用，已知 $|F_1| = 40N$ ，与水平线成θ角； $|F_2| = 70N$ ，沿水平方向；两个力的合力 $|F| = 100N$ ，求角θ以及合力F与水平线的夹角β。

image

B组

选择题：

(1) 已知 $\vec{AB} = \vec{a} + 5\vec{b}$ ， $\vec{BC} = -2\vec{a} + 8\vec{b}$ ， $\vec{CD} = 3(\vec{a} - \vec{b})$ ，则( )。

(A) A，B，D三点共线 (B) A，B，C三点共线 (C) B，C，D三点共线 (D) A，C，D三点共线

(2) 已知正方形ABCD的边长为1， $\vec{AB} = \vec{a}$ ， $\vec{BC} = \vec{b}$ ， $\vec{AC} = \vec{c}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$ 等于( )。

(A) 0 (B) 3 (C) $\sqrt{2}$ (D) $2\sqrt{2}$

(3) 已知 $\vec{OA} = \vec{a}$ ， $\vec{OB} = \vec{b}$ ， $\vec{OC} = \vec{c}$ ， $\vec{OD} = \vec{d}$ ，且四边形ABCD为平行四边形，则( )。

(A) $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = 0$ (B) $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} - \vec{d} = 0$ (C) $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} - \vec{d} = 0$ (D) $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c} + \vec{d} = 0$

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数学题

(4)已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC=a，CA=b，AB=c，则
①EF = $\frac{1}{2}$ c - $\frac{1}{2}$ b；②BE = $\frac{1}{2}$ a + $\frac{1}{2}$ b；③CF = - $\frac{1}{2}$ a + $\frac{1}{2}$ b；④AD + BE + CF = 0
其中正确的等式的个数为( )。
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

(5)若 $\vec{e_1}$ ， $\vec{e_2}$ 是夹角为60°的两个单位向量，则 $\vec{a}$ = 2 $\vec{e_1}$ + $\vec{e_2}$ ； $\vec{b}$ = -3 $\vec{e_1}$ + 2 $\vec{e_2}$ 的夹角为( )。
(A) 30°
(B) 60°
(C) 120°
(D) 150°

(6)若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两所成的角相等，且| $|\vec{a}$ || = 1，| $|\vec{b}$ || = 1，| $|\vec{c}$ || = 3，则| $|\vec{a}$ + $\vec{b}$ + $\vec{c}$ ||等于( )。
(A) 2
(B) 5
(C) 2或5
(D) $\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{5}$

(7)等边三角形ABC的边长为1，BC = $\vec{a}$ ，CA = $\vec{b}$ ，AB = $\vec{c}$ ，那么 $\vec{a}$ · $\vec{b}$ + $\vec{b}$ · $\vec{c}$ + $\vec{c}$ · $\vec{a}$ 等于( )。
(A) 3
(B) -3
(C) $\frac{3}{2}$
(D) - $\frac{3}{2}$

已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，求证： $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ↔| $|\vec{a}$ + $\vec{b}$ || = | $|\vec{a}$ - $\vec{b}$ ||，并解释其几何意义。
已知 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $\vec{c}$ ， $\vec{a}$ - $\vec{b}$ = $\vec{d}$ ，求证：| $|\vec{a}$ || = | $|\vec{b}$ ||↔ $\vec{c}$ ⊥ $\vec{d}$ ，并解释其几何意义。
如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，E、F分别是腰AD、BC的中点，M、N是线段EF上的两个点，且EM = MN = NF，下底是上底的2倍，若AB = $\vec{a}$ ，BC = $\vec{b}$ ，求 $\vec{AM}$ 。

image4

已知向量 $\vec{OP_1}$ ， $\vec{OP_2}$ ， $\vec{OP_3}$ 满足条件 $\vec{OP_1}$ + $\vec{OP_2}$ + $\vec{OP_3}$ = $\vec{0}$ ，| $|\vec{OP_1}$ || = | $|\vec{OP_2}$ || = | $|\vec{OP_3}$ || = 1，求证△ $P_1P_2P_3$ 是正三角形。
如图，已知OA = $\vec{a}$ ，OB = $\vec{b}$ ，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{MN}$ 。