2.5　平面向量应用举例

Tong LiJanuary 23, 2025About 11 min

2.5　平面向量应用举例

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2.5 平面向量应用举例

2.5.1 平面几何中的向量方法

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题。下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。

例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。

如图 2.5-1， $AC = AB + AD$ ， $DB = AB - AD$ ，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

分析: 不妨设 $AB = \vec{a}$ ， $AD = \vec{b}$ 。则

$AC = \vec{a} + \vec{b}$ ， $DB = \vec{a} - \vec{b}$ 。

$|AB|^2 = |\vec{a}|^2$ ， $|AD|^2 = |\vec{b}|^2$ 。

涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算 $|AC|^2$ 与 $|DB|^2$ 。

解: $|AC|^2 = AC \cdot AC = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$ 。 (1)

同理

$|DB|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$ 。 (2)

观察 (1)、(2) 两式的特点，我们发现，(1) + (2) 得

$|AC|^2 + |DB|^2 = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2) = 2(|AB|^2 + |AD|^2)$ 。

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CHAPTER

普通高中课程标准实验教科书数学 4

即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。

?
如果不用向量的方法，你能证明上述关系吗？

思考

平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题。解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论。这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3) 把运算结果“翻译”成几何关系。

例 2

如图 2.5-2，连接▱ABCD的一个顶点至AD、DC边的中点E、F，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

**分析：**由于R、T是对角线AC上的两点，要判断AR、RT、TC之间的关系，只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可。又因为AR、RT、TC、AC共线，所以只需判断AD，AR，AT与AC之间的关系即可。

**解：**第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：

设AB = a，AD = b，AR = r，AT = t，则AC = a + b。

第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：

由于AR与AC共线，所以，我们设

r = n(a + b), n∈R.

图2.5-2

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第二章平面向量

第二章

又因为
$\overline{EB} = \overline{AB} - \overline{AE} = a - \frac{1}{2}b$ .

ER与EB共线，所以我们设
$\overline{ER} = m\overline{EB} = m(a - \frac{1}{2}b)$ .

因为
$\overline{AR} = \overline{AE} + \overline{ER}$ .

所以
$r = \frac{1}{2}b + m(a - \frac{1}{2}b)$ .

因此，
$n(a + b) = \frac{1}{2}b + m(a - \frac{1}{2}b)$ .

即
$(n - m)a + (n + \frac{m-1}{2})b = 0$ .

由于向量a, b不共线，要使上式为0，必须
$\begin{cases} n - m = 0 \\ n + \frac{m - 1}{2} = 0 \end{cases}$ .

解得
$n = m = \frac{1}{3}$ .

所以
$\overline{AR} = \frac{1}{3}\overline{AC}$ ,
$\overline{AT} = \frac{2}{3}\overline{AC}$ .

第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
$\overline{AR} = \overline{RT} = \overline{TC}$ .

用演绎证明的方法如何证明本题的结论？

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CHAPTER

2.5.2 向量在物理中的应用举例

例3 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？

分析：上面的问题可以抽象为如图2.5-3所示的数学模型，只要分析清楚 $\vec{F}$ ， $\vec{G}$ ， $\vec{\theta}$ 三者之间的关系（其中 $\vec{F}$ 为 $\vec{F_1}$ ， $\vec{F_2}$ 的合力），就得到了问题的数学解释。

解：不妨设 $|F_1| = |F_2|$ ，由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道

$|F| = \frac{|G|}{2cos\frac{\theta}{2}}$

通过上面的式子，我们发现：当 $\theta$ 由 0° 到 180° 逐渐变大时， $\frac{\theta}{2}$ 由 0° 到 90° 逐渐变大， $cos\frac{\theta}{2}$ 的值由大逐渐变小，因此 $|F|$ 由小逐渐变大，即 $F_1$ ， $F_2$ 之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力。

图2.5-3

(1) $\theta$ 为何值时， $|F|$ 最小，最小值是多少？

(2) $|F|$ 能等于 $|G|$ 吗？为什么？

例4 如图 2.5-4，一条河的两岸平行，河的宽度 $d = 500 m$ 。一艘船从 A 处出发到河对岸，已知船的速度 $|v_1| = 10 km/h$ ，水流速度 $|v_2| = 2 km/h$ ，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到 0.1 min）？

分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短。考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度…

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第二章平面向量

第二章

度必须垂直于对岸，如图2.5-5.

解： $|v| = \sqrt{v_1^2 - v_2^2} = \sqrt{96} (km/h)$ ，

所以

$t = \frac{d}{|v|} = \frac{0.5}{\sqrt{96}} \times 60 \approx 3.1 (min)$ .

答：行驶航程最短时，所用时间是3.1 min.

习题2.5

A组

已知点A(1, 0), 直线l: y=2x-6, 点R是直线l上的一点，若RA=2AP，求点P的轨迹方程.
△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设AB=a，AC=b，

(1) 用a，b表示向量AO；

(2) 证明A、O、E三点在同一直线上，且 $\frac{AO}{OE} = \frac{BO}{OF} = \frac{CO}{OD} = 2$ .

两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 $\vec{v_A} = (4, 3)$ ， $\vec{v_B} = (2, 10)$ ，

(1) 写出此时粒子B相对粒子A的位移；

(2) 计算 $\vec{v_B}$ 在 $\vec{v_A}$ 方向上的投影.

平面上三个力 $F_1$ 、 $F_2$ 、 $F_3$ 作用于一点且处于平衡状态， $|F_1| = 1N$ ， $|F_2| = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} N$ ， $F_1$ 与 $F_2$ 的夹角为45°，试求 $F_3$ 以及 $F_3$ 与 $F_1$ 夹角的大小.

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CHAPTER 2

普通高中课程标准实验教科书数学 4

B 组

以初速度 $v_0$ ，抛射角 $\theta$ 投掷铅球，求铅球上升的最大高度和最大投掷距离。
一条河的两岸平行，河的宽度 $d = 500 m$ ，一艘船从 A 处出发到河对岸，已知船的速度 $|v_1| = 10 km/h$ ，水流速度 $|v_2| = 2 km/h$ 。要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小，此时我们分三种情况讨论：

(1) 当船逆流行驶，与水流成钝角时；

(2) 当船顺流行驶，与水流成锐角时；

(3) 当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时。

请同学们计算上面三种情况，是否当船垂直于对岸行驶时，与水流成直角时，所用时间最短。

已知对任意平面向量 $\vec{AB} = (x, y)$ ，把 $\vec{AB}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转角 $\theta$ 得到向量 $\vec{AP} = (x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)$ ，叫做把点 B 绕点 A 逆时针方向旋转角 $\theta$ 得到点 P。

(1) 已知平面内点 A(1, 2)，点 B(1 + $\sqrt{2}$ , 2 - 2 $\sqrt{2}$ )。把点 B 绕点 A 沿顺时针方向旋转 $\frac{\pi}{4}$ 后得到点 P，求点 P 的坐标；

(2) 设平面内曲线 C 上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转 $\frac{\pi}{4}$ 后得到的点的轨迹是曲线 $x^2 - y^2 = 3$ ，求原来曲线 C 的方程。

向量的运算（运算律）与几何图形的性质有紧密联系。向量的运算（运算律）可以用图形简明地表示，而图形的一些性质又可以反映到向量的运算（运算律）上来，比如平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，向量加法及其交换律 $a + b = b + a$ 可以表示平行四边形中的对边平行以及三角形全等，这说明，以向量为工具，可以把几何图形、几何变换、向量运算及运算律统一起来，请你思考一下，下表是否反映了这种情况？

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第二章平面向量

几何图形几何变换向量运算向量运算律

几何图形	几何变换	向量运算	向量运算律
平行四边形 image	平移	加法	交换律: a+b=b+a 结合律: a+(b+c)=(a+b)+c
相似三角形 image	相似	数乘	分配律: k(a+b)=ka+kb
直角三角形 image	垂直	数量积	交换律: a·b=b·a 分配律: a·(b+c)=a·b+a·c

向量作为工具研究几何问题，开创了研究几何问题的新方法。由于欧氏几何只依据基本的逻辑原理（同一律、矛盾律、排中律等），不使用其他工具，从基本事实（公理）出发，通过演绎推理，建立几何关系，因此，它给出的几何论证严谨且优雅，能够给人以极大的美感和享受，但没有一般规律可循，存在较大的思考难度，往往对人的智力形成极大的挑战（也许，欧氏几何的魅力也正在于此）。寻求几何研究的工具，以更好地把握图形的性质和规律，推进几何研究的发展，就成为数学家们的一个理想。

建立向量运算（运算律）与几何图形之间的关系后，对图形的研究推进到了有效能算的水平，从而实现了综合几何到向量几何的转折。向量运算（运算律）把向量与几何、代数有机地联系在一起。

用向量方法解决几何问题的基本过程是：首先把一个几何量代数化，即把位移这个基本的几何量加以抽象而得到向量的概念；然后运用欧氏空间特有的平移、全等、相似与勾股定理等基本性质引进向量的加（减）法、数乘向量与数量积这三种向量运算，并把欧氏几何的直观性与向量的运算（运算律）有机地结合起来，使得直观的几何关系代数化，抽象的运算及运算律直观化，这样就使数与形有机地结合起来。运算和运算律是向量的灵魂，是连接数与形的纽带，它建立了运算（运算律）与几何图形之间的对应关系，使我们能够通过运算来研究几何。

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