时间	年初本金 (元)	年末本利和 (元)
第1年	10 000	10 000×1.019 8
第2年	10 000×1.019 8	10 000×1.019 8²
第3年	10 000×1.019 8²	10 000×1.019 8³
第4年	10 000×1.019 8³	10 000×1.019 8⁴
第5年	10 000×1.019 8⁴	10 000×1.019 8⁵

各年末的本利和（单位：元）组成了下面的数列：

10 000×1.019 8，10 000×1.019 8²，10 000×1.019 8³，10 000×1.019 8⁴，10 000×1.019 8⁵

上面的数列①②③④有什么共同特点？

可以看到：

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于___；

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于___；

对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于___；

对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的比都等于___；

也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数，

CHAPTER 2

● 一些书籍把等比数列的英文缩写记作 G. P. (Geometric Progression).

既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列 (geometric sequence)，这个常数叫做等比数列的公比 (common ratio)，公比通常用字母 $q$ 表示 ( $q \ne 0$ ).

上面的四个数列都是等比数列，公比依次是，，，。

与等差中项的概念类似，如果在 $a$ 与 $b$ 中间插入一个数 $G$ ，使 $a$ ， $G$ ， $b$ 成等比数列，那么 $G$ 叫做 $a$ 与 $b$ 的等比中项。想一想，这时 $a$ 、 $b$ 的符号有什么特点？你能用 $a$ 与 $b$ 表示 $G$ 吗？

现在，我们来研究等比数列的通项公式。

(1) 写出上面四个等比数列的通项公式，类比等差数列的通项公式的推导过程，请你补全首项是 $a_1$ ，公比是 $q$ 的等比数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

$a_n = a_1 q^{n-1}$

(2) 在右面的直角坐标系中，画出通项公式为 $a_n = 2^{n-1}$ 的数列的图象和函数 $y = 2^{n-1}$ 的图象，你发现了什么？

image

(3) 类似地，在同一直角坐标系中，画出通项公式为 $a_n = (\frac{1}{2})^{n-1}$ 的数列的图象和函数 $y = (\frac{1}{2})^{n-1}$ 的图象，并观察它们之间的关系。

第二章数列

例1

●放射性物质
质衰变到原来的一
半所需时间称为这
种物质的半衰期,

某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%。这种物质的半衰期为多长（精确到1年）？

解：设这种物质最初的质量是1，经过 $n$ 年，剩留量是 $a_n$ 。由条件可得，数列{ $a_n$ }是一个等比数列，其中 $a_1$ =0.84, $q$ =0.84.

设 $a_n$ =0.5，则 $0.84^n$ =0.5.

两边取对数，得 $nlg$ 0.84 = $lg$ 0.5.

用计算器算得 $n$ ≈4.

答：这种物质的半衰期大约为4年。

例2

根据图2.4-2中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？

解：若将打印出来的数依次记为 $a_1$ (即A), $a_2$ , $a_3$ ,……由图2.4-2可知，

$a_1$ =1,

$a_2$ = $a_1$ × $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ,

$a_3$ = $a_2$ × $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$ ,

$a_4$ = $a_3$ × $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{8}$ ,

$a_5$ = $a_4$ × $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ .

于是，可得递推公式

$a_1$ =1,

$\begin{cases} a_1=1, \\ a_n=\frac{1}{2}a_{n-1} \end{cases}$ ( $n$ >1).

由于 $\frac{a_n}{a_{n-1}}$ = $\frac{1}{2}$ ，因此这个数列是等比数列，其通项公式是

$a_n$ =( $\frac{1}{2}$ ) $^{n-1}$ .

图2.4-2

CHAPTER 2

例 3

一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18，求它的第 1 项和第 2 项。

解：设这个等比数列的第 1 项是 $a_1$ ，公比是 q，那么

$a_1q^2 = 12$ ①

$a_1q^3 = 18$ ②

② ÷ ①，得

$q = \frac{3}{2}$ ③

把 ③ 代入 ①，得

$a_1 = \frac{16}{3}$

因此，

$a_2 = a_1q = \frac{16}{3} \times \frac{3}{2} = 8$

答：这个数列的第 1 项和第 2 项分别是 $\frac{16}{3}$ 与 8。

例 4

已知 $\{a_n\}$ ， $\{b_n\}$ 是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什么结论？证明你的结论。

$a_n$	$b_n$	$a_n \cdot b_n$	判断数列 $\{a_n \cdot b_n\}$ 是否等比数列
例 $3 \times (\frac{2}{3})^n$	$-5 \times 2^{n-1}$	$-10 \times (\frac{4}{3})^{n-1}$	是
自选 1
自选 2

解：填表请同学们自己完成。

根据这个表格，我们可以得到：如果 $\{a_n\}$ ， $\{b_n\}$ 是项数相同的等比数列，那么 $\{a_n \cdot b_n\}$ 也是等比数列。

证明如下：

设数列 $\{a_n\}$ 的公比为 p， $\{b_n\}$ 的公比为 q，那么数列

58

第二章数列

{a_n•b_n}的第 n 项与第 n+1 项分别为 a₁p^n-1•b₁q^n-1 与 a₁pⁿ•b₁qⁿ, 因为

$\frac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_nb_n} = \frac{a_1b_1(pq)^n}{a_1b_1(pq)^{n-1}} = pq$ ,

它是一个与 n 无关的常数，所以 {a_nb_n} 是一个以 pq 为公比的等比数列。

特别地，如果 {a_n} 是等比数列，c 是不等于 0 的常数，那么数列 {ca_n} 也是等比数列。

练习

已知 {a_n} 是一个等比数列，在下表中填入适当的数：

a₁	a₃	a₅	a₇	q
2	2	8		0.2

在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是 80 台，并且从第一轮起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的 20 台计算机，到第 5 轮可以感染到多少台计算机？
已知 {a_n} 是一个无穷等比数列，公比为 q。

(1) 将数列 {a_n} 中的前 m 项去掉，剩余各项组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？

(2) 取出数列 {a_n} 中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？

(3) 在数列 {a_n} 中，每隔 10 项取出一项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？

已知 {a_n} 是等比数列。

(1) $a_1 = a_3 \cdot a_5$ 是否成立？ $a_1^3 = a_3 \cdot a_5$ 成立吗？为什么？

CHAPTER 2

普通高中课程标准实验教科书数学 5

(2) $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ (n>1) 是否成立？你据此能得到什么结论？

$a_n = a_k \cdot q^{n-k}$ (n>k>0) 是否成立？你又能得到什么结论？

某人买了一辆价值 13.5 万元的新车，专家预测这种车每年按 10% 的速度折旧。

(1) 用一个式子表示 n (n∈N^*) 年后这辆车的价值。

(2) 如果他打算用满 4 年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？

习题 2.4

A 组

在等比数列 {a_n} 中，

(1) a₁ = 27, q = 3, 求 a₆;

(2) a₅ - a₁ = 15, a₄ - a₂ = 6, 求 a₅.

某地为了保持水土资源，实行退耕还林，如果 2000 年退耕 8 万公顷，以后每年增加 10%，那么 2005 年需退耕多少公顷？（结果保留到个位）
已知 {a_n} 是各项均为正数的等比数列，{ $\sqrt{a_n}$ } 是等比数列吗？为什么？
如果能将一张厚度为 0.05 mm 的报纸对折，再对折，再对折……对折 50 次后，报纸的厚度是多少？你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗？
某城市今年空气质量为“良”的天数共为 105 天，力争 2 年后使空气质量为“良”的天数达到 240 天，这个城市空气质量为“良”的天数的年平均增长率为多少？（精确到小数点后 2 位）
已知 a, b 是互异的正数，A 是 a, b 的等差中项，G 是 a, b 的正的等比中项，A 与 G 有无确定的大小关系？

第二章数列

B组

已知等比数列{ $a_n$ }的公比为q，求证
$\frac{a_n}{a_m} = q^{n-m}$
考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代，假定碳14每年的衰变率不变，已知它的半衰期为5730年，那么：
(1) 碳14的衰变率为多少？
(2) 某动物标本中碳14的含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了40%），该动物大约在距今多少年前死亡？

skull

(第2题)

设任一等差数列{ $a_n$ }，计算 $a_7$ + $a_{10}$ 和 $a_5$ + $a_9$ ， $a_{10}$ + $a_{40}$ 和 $a_{20}$ + $a_{30}$ ，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度来分析这个问题，在等比数列中会有怎样的类似结论？